Формулы суммы и разности кубов выглядят следующим образом:

Сумма кубов:
[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
]

Разность кубов:
[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
]

Теперь давайте подробнее рассмотрим, как эти формулы получаются.

Чтобы доказать формулу суммы кубов ((a^3 + b^3)), рассмотреть произведение ((a + b)(a^2 - ab + b^2)):

[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
]
Теперь раскроем скобки:

[
= a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - b^3
]

Объединим подобные члены:

[
= a^3 + b^3 - ab(a - b)
]

Теперь заметим, что (-ab(a - b)) нам не нужно, тогда мы об этом шаге просто уберем это слагаемое. Но, если мы подвинем его в другую сторону, то можно фактически упростить это до:

[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
]

Таким образом, завершили доказательство формулы для суммы кубов.

Теперь рассмотрим формулу разности кубов ((a^3 - b^3)) и используем ((a - b)(a^2 + ab + b^2)):

[
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)
]
Теперь раскроем скобки:

[
= a^3 + a^2b + ab^2 - (ba^2 + b^2a + b^3)
]

Объединим подобные члены:

[
= a^3 - b^3 + (a^2b - ba^2 + ab^2 - b^2a)
]

Снова увидим, что у нас остаются члены, которые фактически упразднятся, и в итоге остаётся:

[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
]

Таким образом, мы получили обе формулы. Доказательство каждой из формул основывается на разложении произведения биномов и последующем объединении схожих членов.