В треугольнике ( ABC ) с прямым углом в вершине ( B ) проведем высоту ( BH ) из точки ( B ) на гипотенузу ( AC ). Точка ( H ) является основанием этой высоты.

Согласно свойству прямоугольных треугольников, существует связь между отрезками, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из прямого угла. Обозначим:

Тогда по свойству высоты в прямоугольном треугольнике выполняется равенство:

[
BH^2 = AH \cdot HC
]

Для нахождения ( BH ) используем формулу для высоты в прямоугольном треугольнике:

[
BH = \frac{AB \cdot BC}{AC}
]

Также из условия знаем, что:

[
AC = AH + HC = x + y = 45
]

Из условия ( AN = 5 ), следовательно, ( AH = 5 ) и ( HC = 45 - 5 = 40 ).

Теперь подставим ( AH ) и ( HC ) в формулу:

[
BH^2 = AH \cdot HC = 5 \cdot 40 = 200
]

Следовательно, высота ( BH ):

[
BH = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
]

Теперь мы знаем, что ( AC = 45 ) и ( BH = 10\sqrt{2} ). Чтобы найти длину стороны ( AB ), используем теорему Пифагора:

[
AB^2 + BH^2 = AC^2
]

Подставив известные значения, получаем:

[
AB^2 + (10\sqrt{2})^2 = 45^2
]
[
AB^2 + 200 = 2025
]
[
AB^2 = 2025 - 200
]
[
AB^2 = 1825
]
[
AB = \sqrt{1825} = 5\sqrt{73}
]

Итак, длина стороны ( AB ) равна ( 5\sqrt{73} ).