Чтобы решить задачу, воспользуемся свойством подобия треугольников.

У нас есть треугольник ( ABC ), и прямая ( MN ), параллельная стороне ( AC ), пересекает стороны ( AB ) и ( BC ) в точках ( M ) и ( N ) соответственно. Из-за этого свойства треугольники ( ABM ) и ( ABC ), а также ( BCN ) и ( ABC ), являются подобными.

Согласно свойству подобия треугольников,отношения соответствующих сторон равны:

[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}
]

( MN ) будет делить стороны ( AB ) и ( BC ) пропорционально.

Обозначим длину ( BN ) как ( x ). Тогда всю сторону ( BC ) можно выразить через ( BN ):
[
BC = BN + NC = x + 36
]

Теперь можем записать пропорцию, основываясь на равенстве отношений:

[
\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}
]

Подставим известные значения:

[
\frac{22}{55} = \frac{x}{x + 36}
]

Упрощаем левую часть:

[
\frac{2}{5} = \frac{x}{x + 36}
]

Теперь перекрестно перемножим:

[
2(x + 36) = 5x
]

Раскроем скобки:

[
2x + 72 = 5x
]

Переносим все ( x ) на одну сторону:

[
72 = 5x - 2x
]
[
72 = 3x
]

Теперь найдем ( x ):

[
x = \frac{72}{3} = 24
]

Таким образом, ( BN = 24 ).

Ответ: ( BN = 24 ).