Для решения задачи нужно использовать основное тригонометрическое тождество:

[
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
]

Итак, если (\sin A = \frac{3\sqrt{7}}{9}), то сначала найдём (\sin^2 A):

[
\sin^2 A = \left(\frac{3\sqrt{7}}{9}\right)^2 = \frac{(3^2)(7)}{(9^2)} = \frac{63}{81} = \frac{7}{9}
]

Теперь подставим это значение в основное тождество:

[
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
]

Подставим (\sin^2 A):

[
\frac{7}{9} + \cos^2 A = 1
]

Теперь найдём (\cos^2 A):

[
\cos^2 A = 1 - \frac{7}{9} = \frac{9}{9} - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}
]

Теперь найдём (\cos A):

[
\cos A = \sqrt{\cos^2 A} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}
]

Таким образом, (\cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}).