Давайте рассмотрим кубическое уравнение $a^3+pa+q=0$. Мы хотим показать, что $4qa\le p^2$.

Сначала выразим $q$ через $a$ и $p$:

$$q=-(a^3+pa)$$

Теперь подставим это значение $q$ в неравенство, которое мы хотим доказать:

$$4qa=4(-(a^3+pa))a=-4a^4-4p{a}^2$$

Таким образом, нам нужно показать, что:

$$-4a^4-4p{a}^2\le p^2$$

Или, эквивалентно:

$$4a^4+4p{a}^2+p^2\ge 0$$

Рассмотрим левую часть:

$$4a^4+4p{a}^2+p^2=(2a^2+p{)}^2$$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому:

$$(2a^2+p{)}^2\ge 0$$

Это справедливо для всех $a$ и $p$. Таким образом, неравенство:

$$4qa\le p^2$$

выполняется при любых значениях $a$, $p$ и $q$ согласно данному уравнению.

Следовательно, мы доказали, что $4qa\le p^2$.