Пусть трёхзначное число, которое записала Катя, обозначим как $abc$, где $a$, $b$, и $c$ — цифры числа, а (a > b > c) $этоусловиепоубыванию$.

Число $abc$ можно записать как:
$$100a+10b+c$$

После переноса первой цифры $a$ в конец, новое число будет:
$$bca=100b+10c+a$$

Далее, после переноса первой цифры нового числа $bca$ в конец, получаем:
$$cab=100c+10a+b$$

Теперь находим сумму всех трёх чисел:
$$S=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$$

Соберём все однотипные члены:
$$S=(100a+a+10a)+(10b+100b+b)+(100c+10c+c)$$ $$S=111a+111b+111c$$ $$S=111(a+b+c)$$

Согласно условию задачи, эта сумма равна некоему числу $количествокотороговзадаченеуказано$. Тем не менее, так как $S$ кратно $111$, то $a+b+c$ должен быть таким, чтобы $111(a+b+c)$ получалось трёхзначным числом.

Исходя из условий задачи, $a$, $b$ и $c$ - это цифры, а их сумма должна занимать значения от $1$ до $27$ $посколькумаксимальнаясуммацифртрёхзначногочисла(9+8+7)$.

Итак, максимальное $a+b+c$ - это $24$ при $a=9$, $b=8$, $c=7$. Следовательно мы можем проверить возможные значения.

Рассмотрим случаи, где $a+b+c$ может принимать целые значения от $3$ до $24$, чтобы найти нашу конечную суму $S=111k$, где $k\in [1,24]$.

Проверим информацию, начнем с максимальной суммы,

Если $k=24$,
$$S=111\times 24=2664\text{(четырехзначное, а мы ищем трехзначное число)}$$

По аналогии, продолжаем менять $k$ и подставлять в формулу:

Если $k=21$, $S=111\times 21=2331$ - четырехзначное,Если $k=12$, $S=111\times 12=1332$ - четырехзначное,Если $k=11$,
$$S=111\times 9=999$$

Проверим возможные тройки чисел, которые дают в сумме 11, например:

$9+1+1=11$ подходит, но цифры не идут по убыванию,и т.д. приводя к единственно возможному - $696$

На выход, число трицифровое $987$, переносит $8$ и $7$:
$$987,879,798$$ Сумма,
$$987+879+798=2664$$

Главные единицы - конечный начальная тройка, получаем результат:
$$Ответ:987$$

Таким образом, трёхзначное число, записанное Катей изначально, - это $987$.