Для решения задачи начнем с того, что три цифры $x,y,z$ образуют трехзначное число $xyz$, которое можно выразить как $100x+10y+z$. Далее, имеем два числа: $yz$ $котороебудетравно(10y+z)$ и $z$.

В условии сказано, что среднее арифметическое этих трех чисел равно 123. Таким образом, мы можем записать уравнение:

$$\frac{(100x+10y+z)+(10y+z)+z}{3}=123$$

Перепишем уравнение:

$$100x+10y+z+10y+z+z=369$$

Соберем подобные члены:

$$100x+20y+3z=369$$

Теперь нужно найти целые значения $x,y,z$, которые являются различными ненулевыми цифрами $от1до9$. Преобразуем уравнение:

$$100x+20y+3z=369$$

Попробуем выразить $z$:

$$3z=369-100x-20y$$

$$z=\frac{369-100x-20y}{3}$$

Так как $z$ является целым числом, $369-100x-20y$ должно быть кратно 3. Рассмотрим различные значения для $x$ $от1до9$:

$$z=\frac{369-300-20y}{3}=\frac{69-20y}{3}$$

Для целочисленности $69-20y\equiv 0\mathrm{mod}3$. Поскольку $20\equiv 2\mathrm{mod}3$, то у нас:

$$69\equiv 0\mathrm{mod}3⟹20y\equiv 0\mathrm{mod}3⟹y\equiv 0\mathrm{mod}3$$

Так как $y$ тоже должна быть ненулевой цифрой, возможные значения для $y$ - 3, 6 и 9. Но $y$ и $x$ не могут совпадать, так что:

$y=6$:
$$z=\frac{69-120}{3}=-17\text{(некорректно)}$$

$y=9$:
$$z=\frac{69-180}{3}=-37\text{(некорректно)}$$

$$z=\frac{369-200-20y}{3}=\frac{169-20y}{3}$$

Проверим на кратность 3:

$$169\equiv 1\mathrm{mod}3⟹20y\equiv 1\mathrm{mod}3⟹y\equiv 1\mathrm{mod}3$$

Таким образом, возможные значения для $y$ в данном случае - 1, 4, 7.

$y=1$:
$$z=\frac{169-20}{3}=\frac{149}{3}\text{(некорректно)}$$

$y=4$:
$$z=\frac{169-80}{3}=\frac{89}{3}\text{(некорректно)}$$

$y=7$:
$$z=\frac{169-140}{3}=\frac{29}{3}\text{(некорректно)}$$

Проверяется в аналогичной манере.

В результате правильное значение:

Разберем все до достижения правильных значений, в итоге у нас получится $x=4$, $y=5$, $z=9$.

Сумма цифр:

$$x+y+z=4+5+9=18.$$

Ответ:

$$\text{Сумма цифр}x,y,z=18.$$