Для описания процесса радиоактивного распада используем обычное дифференциальное уравнение, которое отражает данный процесс. Обозначим ( N(t) ) как количество радиоактивного вещества в момент времени ( t ). По условию задачи скорость распада вещества пропорциональна текущему количеству вещества, что можно выразить в виде уравнения:

[
\frac{dN}{dt} = -\lambda N
]

где ( \lambda ) — константа распада, называемая коэффициентом распада.

Решим это уравнение. Мы можем переписать его в виде:

[
\frac{dN}{N} = -\lambda dt
]

Теперь интегрируем обе стороны. Слева интегрируем по ( N ), а справа — по ( t ):

[
\int \frac{dN}{N} = -\lambda \int dt
]

Получаем:

[
\ln |N| = -\lambda t + C
]

где ( C ) — константа интегрирования. После возведения в степень получаем:

[
N(t) = e^{-\lambda t + C} = e^C e^{-\lambda t} = N_0 e^{-\lambda t}
]

Здесь ( N_0 = e^C ) — начальное количество вещества в момент ( t = 0 ).

Теперь найдем полупериод распада, то есть время ( T_{1/2} ), за которое количество вещества уменьшается в два раза:

[
N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}
]

Подставим это в уравнение распада:

[
\frac{N_0}{2} = N0 e^{-\lambda T{1/2}}
]

Делим обе стороны на ( N_0 ) (предполагаем, что ( N_0 \neq 0 )):

[
\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}
]

Теперь применим натуральный логарифм:

[
\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda T_{1/2}
]

Решим это уравнение относительно ( T_{1/2} ):

[
T_{1/2} = -\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\lambda} = \frac{\ln(2)}{\lambda}
]

Таким образом, полупериод распада радиоактивного вещества равен:

[
T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}
]