Решим уравнение ( 20a + 22b = 2022 ).

Сначала упростим уравнение, разделив все его члены на 2:

[
10a + 11b = 1011
]

Теперь выразим ( b ) через ( a ):

[
11b = 1011 - 10a
]
[
b = \frac{1011 - 10a}{11}
]

Для того чтобы ( b ) было натуральным числом, ( 1011 - 10a ) должно быть делимо на 11. Найдем остаток от деления 1011 на 11:

[
1011 \div 11 = 91 \quad \text{(остаток 0)}
]

Таким образом, ( 1011 \equiv 0 \mod{11} ).

Теперь упростим наше уравнение под условием делимости на 11:

[
1011 - 10a \equiv 0 \mod{11}
]
[
10a \equiv 0 \mod{11}
]

Обратим внимание, что ( 10 \equiv -1 \mod{11} ), поэтому:

[
-a \equiv 0 \mod{11} \implies a \equiv 0 \mod{11}
]

Это означает, что ( a ) должно быть кратно 11. Обозначим ( a = 11k ), где ( k ) — натуральное число.

Подставим ( a ) в наше уравнение:

[
10(11k) + 11b = 1011
]
[
110k + 11b = 1011
]
[
11b = 1011 - 110k
]
[
b = \frac{1011 - 110k}{11}
]

Теперь упростим:

[
b = 91 - 10k
]

Теперь определим, когда ( b ) будет натуральным числом:

Таким образом, ( k ) может принимать значения от 1 до 9 включительно, то есть ( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ).

Подсчитаем количество возможных значений ( k ):

Всего 9 возможных значений для ( k ).

Таким образом, количество пар натуральных чисел ( (a, b) ), которые удовлетворяют уравнению ( 20a + 22b = 2022 ), равно ( 9 ).

[
\text{Ответ: } 9
]