Для решения данной задачи будем использовать формулу для биномиального распределения, так как количество выстрелов фиксировано, а вероятность успеха (попадания в цель) постоянна.

Формула для биномиального распределения выглядит так:

[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]

где:

(P(X = k)) — вероятность того, что успехов (попаданий) будет ровно (k),(n) — общее количество испытаний (выстрелов),(k) — количество успешных испытаний (попаданий),(p) — вероятность успеха в одном испытании,(C(n, k)) — биномиальный коэффициент, вычисляемый как (\frac{n!}{k!(n-k)!}).

В нашем случае:

(n = 8),(k = 3),(p = 0.3),(1-p = 0.7).

Сначала вычисляем биномиальный коэффициент (C(8, 3)):

[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56.
]

Теперь подставим значения в формулу:

[
P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{8-3}.
]

Теперь расчитаем:

[
P(X = 3) = 56 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^5.
]

Вычислим ( (0.3)^3 ) и ( (0.7)^5 ):

[
(0.3)^3 = 0.027,
]
[
(0.7)^5 = 0.16807.
]

Теперь подставим в формулу:

[
P(X = 3) = 56 \cdot 0.027 \cdot 0.16807.
]

Умножим:

[
56 \cdot 0.027 = 1.512,
]
[
1.512 \cdot 0.16807 \approx 0.253552.
]

Следовательно, вероятность того, что цель будет поражена в точности 3 раза:

[
P(X = 3) \approx 0.2536.
]

Таким образом, окончательный ответ:

[
P(X = 3) \approx 0.2536 \text{ или } 25.36\%.
]