Рассмотрим правильный шестиугольник (ABCDEF) со стороной (s). Сначала найдем координаты точек (K), (L) и (M), которые являются средней линией сторон (AB), (CD) и (EF) соответственно.

Правильный шестиугольник можно разместить на плоскости с центром в начале координат. Тогда координаты вершин будут следующие:

(A(s, 0))(B\left(\frac{s}{2}, \frac{s\sqrt{3}}{2}\right))(C\left(-\frac{s}{2}, \frac{s\sqrt{3}}{2}\right))(D(-s, 0))(E\left(-\frac{s}{2}, -\frac{s\sqrt{3}}{2}\right))(F\left(\frac{s}{2}, -\frac{s\sqrt{3}}{2}\right))

Теперь найдем координаты точек (K), (L) и (M):

(K) — середина отрезка (AB):
[
K\left(\frac{s + \frac{s}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{s\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3s}{4}, \frac{s\sqrt{3}}{4}\right)
](L) — середина отрезка (CD):
[
L\left(\frac{-\frac{s}{2} - s}{2}, \frac{\frac{s\sqrt{3}}{2} + 0}{2}\right) = \left(-\frac{3s}{4}, \frac{s\sqrt{3}}{4}\right)
](M) — середина отрезка (EF):
[
M\left(\frac{-\frac{s}{2} + \frac{s}{2}}{2}, \frac{-\frac{s\sqrt{3}}{2} - \frac{s\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \left(0, -\frac{s\sqrt{3}}{2}\right)
]

Теперь, имея координаты (K), (L) и (M):

(K\left(\frac{3s}{4}, \frac{s\sqrt{3}}{4}\right))(L\left(-\frac{3s}{4}, \frac{s\sqrt{3}}{4}\right))(M\left(0, -\frac{s\sqrt{3}}{2}\right))

Мы можем найти площадь треугольника (KLM) по формуле:
[
\text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
]
Подставляя координаты, получаем:
[
\text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| \frac{3s}{4}\left(\frac{s\sqrt{3}}{4} + \frac{s\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{3s}{4}\right)\left(-\frac{s\sqrt{3}}{2} - \frac{s\sqrt{3}}{4}\right) + 0\left(\frac{s\sqrt{3}}{4} - \frac{s\sqrt{3}}{4}\right) \right|
]
Упрощая это выражение, получаем:
[
= \frac{1}{2} \left| \frac{3s}{4}\left(\frac{s\sqrt{3}}{4} + \frac{2s\sqrt{3}}{4}\right) + \frac{3s}{4}\left(\frac{3s\sqrt{3}}{4}\right) \right|
= \frac{1}{2} \left| \frac{3s}{4}\left(\frac{3s\sqrt{3}}{4}\right) + \frac{3s}{4}\left(\frac{3s\sqrt{3}}{4}\right) \right|
= \frac{1}{2} \left| \frac{9s^2\sqrt{3}}{16} + \frac{9s^2\sqrt{3}}{16} \right|
= \frac{1}{2} \cdot \frac{18s^2\sqrt{3}}{16} = \frac{9s^2\sqrt{3}}{16}
]

Зная, что площадь треугольника (KLM) равна (9\sqrt{3}), можем установить:
[
\frac{9s^2\sqrt{3}}{16} = 9\sqrt{3}
]
Делим обе стороны на (9\sqrt{3}):
[
\frac{s^2}{16} = 1
]
Умножаем на 16:
[
s^2 = 16 \implies s = 4
]

Таким образом, длина стороны шестиугольника составляет (s = 4).