Для нахождения уравнения окружности, проходящей через три заданные точки, необходимо использовать общую формулу уравнения окружности:

[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
]

где ((h, k)) — координаты центра окружности, а (r) — её радиус.

Однако проще решить задачу с помощью общего уравнения окружности:

[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
]

где (D), (E) и (F) — это коэффициенты, которые необходимо найти.

Пусть у нас есть три точки: (A(-4, 1)), (B(-6, -3)), (C(4, -1)).

Подставим координаты точек в общее уравнение:

Для точки (A(-4, 1)):
[
(-4)^2 + (1)^2 + D(-4) + E(1) + F = 0 \implies 16 + 1 - 4D + E + F = 0 \implies -4D + E + F = -17 \quad (1)
]

Для точки (B(-6, -3)):
[
(-6)^2 + (-3)^2 + D(-6) + E(-3) + F = 0 \implies 36 + 9 - 6D - 3E + F = 0 \implies -6D - 3E + F = -45 \quad (2)
]

Для точки (C(4, -1)):
[
(4)^2 + (-1)^2 + D(4) + E(-1) + F = 0 \implies 16 + 1 + 4D - E + F = 0 \implies 4D - E + F = -17 \quad (3)
]

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1) (-4D + E + F = -17)

2) (-6D - 3E + F = -45)

3) (4D - E + F = -17)

Решим эту систему уравнений.

Вычтем уравнение (1) из (2):

[
(-6D - 3E + F) - (-4D + E + F) = -45 + 17 \implies -2D - 4E = -28 \implies D + 2E = 14 \quad (4)
]

Теперь вычтем (1) из (3):

[
(4D - E + F) - (-4D + E + F) = -17 + 17 \implies 8D - 2E = 0 \implies 4D - E = 0 \implies E = 4D \quad (5)
]

Подставим (5) в (4):

[
D + 2(4D) = 14 \implies D + 8D = 14 \implies 9D = 14 \implies D = \frac{14}{9}
]

Теперь подставим значение (D) в (5):

[
E = 4 \cdot \frac{14}{9} = \frac{56}{9}
]

Теперь подставим (D) и (E) в (1), чтобы найти (F):

[
-4\left(\frac{14}{9}\right) + \frac{56}{9} + F = -17
]
[
-\frac{56}{9} + \frac{56}{9} + F = -17 \implies F = -17
]

Таким образом, мы получили:

[
D = \frac{14}{9}, \quad E = \frac{56}{9}, \quad F = -17
]

Теперь подставляем (D), (E) и (F) обратно в общее уравнение окружности:

[
x^2 + y^2 + \frac{14}{9}x + \frac{56}{9}y - 17 = 0
]

Умножим на 9, чтобы избавиться от дробей:

[
9x^2 + 9y^2 + 14x + 56y - 153 = 0
]

Теперь у нас есть уравнение окружности, проходящей через точки ((-4, 1)), ((-6, -3)) и ((4, -1)):

[
9x^2 + 9y^2 + 14x + 56y - 153 = 0
]