Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой для площади треугольника и соотношением сторон.

Пусть ( AB = 4k ) и ( AC = 5k ), где ( k ) — некоторый положительный коэффициент. Площадь треугольника вычисляется по формуле:

[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)
]

Мы знаем, что площадь ( S = 54 ). Подставим в формулу:

[
54 = \frac{1}{2} \cdot (4k) \cdot (5k) \cdot \sin(\angle A)
]

Упростим уравнение:

[
54 = 10k^2 \cdot \sin(\angle A)
]
[
k^2 \cdot \sin(\angle A) = \frac{54}{10} = 5.4
]
[
k^2 = \frac{5.4}{\sin(\angle A)}
]

Здесь видно, что ( k ) зависит от угла ( A ). Чтобы найти конкретные значения для сторон ( AB ) и ( AC ), необходимо знать, какова величина угла ( A ) или других углов треугольника.

Без известного угла нельзя однозначно определить длины сторон. Если же предоставлена дополнительная информация, например, величина угла или другие стороны, то можно будет найти значения сторон более точно.

В общем случае можно заключить, что существует бесконечно много решений, так как различные значения угла ( A ) дадут различные значения для ( k ), и соответственно, для сторон треугольника.