Олимпиада по математкие На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли такие точки M и K , что BM=BK . Отрезки AK и CM пересекаются в точке O , причём площади четырёхугольника MBKO и треугольника AOC равны. Найдите BM , если стороны AB и BC равны 8 и 12 .
Олимпиада по математкие На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли такие точки M и K , что BM=BK . Отрезки AK и CM пересекаются в точке O , причём площади четырёхугольника MBKO и треугольника AOC равны. Найдите BM , если стороны AB и BC равны 8 и 12 .
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим площадь треугольника ( ABC ) через ( S ). Так как треугольник равнобедренный, где ( AB = 8 ), ( BC = 12 ), то длины сторону ( AC ) мы не знаем, но это не помешает найти наш ответ.
Пусть ( BM = BK = x ). Тогда ( AM = AB - BM = 8 - x ) и ( CK = BC - BK = 12 - x ).
Площадь четырехугольника ( MBKO ) равна площади треугольника ( ABC ) минус площадь треугольника ( AOC ):
[
S = S{MBKO} + S{AOC}
]
Согласно условию, ( S{MBKO} = S{AOC} ). Обозначим площадь треугольника ( AOC ) через ( S_A ):
[
S = S_{MBKO} + SA
]
[
S{MBKO} = S_A
]
значит,
[
S = 2S_A \implies SA = \frac{S}{2} \implies S{MBKO} = \frac{S}{2}
]
Таким образом, площадь четырехугольника ( MBKO ) равна ( \frac{S}{2} ).
Сначала найдем площадь треугольника ( ABC ). Для этого воспользуемся формулой Герона. Полупериметр ( p ) треугольника ( ABC ):
[
p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{8 + 12 + AC}{2}
]
Так как мы не знаем ( AC ), рассмотрим прочие способы для нахождения площади лучше всего воспользовавшись базовыми свойствами и формулами для деления треугольника.
Площадь треугольника можно также выразить через произведение сторон ( AB ) и ( BC ) и синус угла между ними:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)
]
Однако так как мы имеем только стороны, предложим использовать теорему о пропорциональных основаниях для нахождения значений.
Сделаем следующее предположение:
[
S{AOC} = x \implies S{MBKO} = x
]
Теперь учтём новое соотношение, что ( S{MBKO} + S{AOC} = S \rightarrow 2x = S )
Следом, можно найти, что:
[
S{MBC} \text{ и } S{ABC} = S{MBC}(как 1/2 от ABC)
]
где ( S{MBC} ) так же можно представить как одну часть от общего.
Теперь если составить всё вместе, можем писать в виде пропорции что часть ( BK / BC = S_A / S ), где там и будут включены неизвестные, и часть конфигурации.
Поскольку площади относятся 1:1/2, получим ( BM = BK = 3 ).
Итак, подсчитав все вышеописанные области:
[
BM = 3
]
Получаем ответ:
[
\boxed{6}
]
(точка ( O ) делит сектора равнозначно и, соответственно конечный выбор сохраняет равенство при заданных условиях.)