Решим уравнение (\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)} = \sqrt{2}).

Для начала упростим выражение в знаменателе:

[
\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = \sin\left(3\pi - x\right) = -\sin x.
]

Таким образом, уравнение можно переписать как:

[
\frac{\sin x}{-\sin x} = \sqrt{2} \implies -1 = \sqrt{2},
]

что является ошибкой, так как (-1) не может равняться (\sqrt{2}). Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Решим уравнение (4\cos^3 x \cdot 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0).

Обозначим столбцы равенства:

[
4\cos^3 x \cdot 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0.
]

Преобразуем:
[
3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -3\cos x \quad (\text{так как } \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x).
]
Упрощаем уравнение:

(4\cos^3 x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 ) \
Комплексное решение на интервале ([-2\pi; -\pi]):

[
x = -\frac{\pi}{2}.
]

(3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0 \Rightarrow \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0).

(\Rightarrow x - \frac{\pi}{2} = n\pi \Rightarrow x = n\pi + \frac{\pi}{2}.)

С учетом интервала ([-2\pi; -\pi]):

Для (n = -2): (x = -2\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}).Для (n = -1): (x = -\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}).

Таким образом, корни: (x = -\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}).

Решим уравнение (\cos x \cdot \cos 2x = \sqrt{2} \sin^2 x - \cos x).

Запишем:

[
\cos x \cdot \cos 2x + \cos x = \sqrt{2} \sin^2 x.
]

(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x)

Подставим:

[
\cos x \cdot \cos 2x + \cos x = \sqrt{2}(1 - \cos^2 x).
]

Обозначим ( \cos x = y). Тогда у нас получится:

[
y \cdot (2y^2 - 1) + y = \sqrt{2}(1 - y^2).
]

Объединим все в одно уравнение:

[
y \cdot (2y^2 - 1) + y + \sqrt{2}y^2 - \sqrt{2} = 0.
]

Решаем это уравнение для (y):

[
2y^3 + (1 - \sqrt{2})y^2 + 1 = 0.
]

Принимаем корни (y = \cos x) и находим (x) соответственно на интервале ([-5\pi; -\pi]). Обозначив все уравнения, возможно, потребуется графический анализ или численные методы для вычисления точных значений корней.