Для данной задачи необходимо определить наименьшее количество отрезков, которые можно провести между 12 точками на плоскости так, чтобы для любых трех выбранных точек всегда находились хотя бы два отрезка, соединяющих эти точки.

Для нахождения решения можно использовать свойства графов. Исходя из условия, для любой тройки точек (A), (B), (C) должны существовать два отрезка, соединяющие точки из этой тройки. Это можно выразить через графы, где точки - это вершины, а отрезки - ребра.

Наименьшее количество отрезков можно достичь, используя структуру, называемую (K_{n-1}) (полнограф с (n-1) вершинами) для связи с каждой дополнительной вершиной (точкой). В данном случае, если у нас есть 12 точек, можно охарактеризовать минимально необходимую структуру следующим образом:

Если мы выберем 3 точки, они должны быть связаны достаточно, чтобы две из них соединялись между собой, что может быть представлено в виде графа.Для надежного соединения можно рассмотреть структуру, где каждая из 12 вершин связана с 5 другими, что образует достаточно связный граф.

Таким образом, наименьшее количество отрезков можно подсчитать с помощью формулы для полного графа на (n) вершинах, где (C(n,2)) - количество рёбер:

[
m \geq \binom{12}{2} - \text{число оставшихся рёбер}
]

Однако мы профилируем конкретные структуры. Для (K_6) (полный граф на 6 вершинах) образует достаточную связность, тогда как можно провести подобные расчеты (например, 6 рёбер уже обеспечивают необходимую связь).

Таким образом, логическим выводом будет тот факт, что необходимо 30 рёбер для максимального количества, а значит, в данной ситуации принято обозначать, что простейшим видом будет:

Разделить точки на группы и добавить связь между ними.

В итоге, исследуя по всей плоскости, мы заключаем, что минимальное количество отрезков должно составлять:

[
\text{Ответ: } 12
]

Так как минимально необходимосный будет (K_6) и подобные ограничения о числе треугольников также ведет к минимально необходимой сети, создавая общее количество отрезков.