Для разложения многочлена ( \frac{1}{81}y^4 - x^4 ) на множители, воспользуемся формулой разности квадратов.

Сначала запишем многочлен так, чтобы он выглядел как разность квадратов:

[
\frac{1}{81}y^4 - x^4 = \left(\frac{1}{9}y^2\right)^2 - (x^2)^2
]

Теперь применим формулу разности квадратов ( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ):

[
\left(\frac{1}{9}y^2 - x^2\right)\left(\frac{1}{9}y^2 + x^2\right)
]

Таким образом, ( \frac{1}{81}y^4 - x^4 ) может быть разложен на множители как:

[
\left(\frac{1}{9}y^2 - x^2\right)\left(\frac{1}{9}y^2 + x^2\right)
]

Если нужно дальше разложить ( \frac{1}{9}y^2 - x^2 ) на множители, можем сделать это снова с использованием формулы разности квадратов:

[
\frac{1}{9}y^2 - x^2 = \left(\frac{1}{3}y - x\right)\left(\frac{1}{3}y + x\right)
]

Таким образом, окончательно мы можем записать разложение:

[
\frac{1}{81}y^4 - x^4 = \left(\frac{1}{3}y - x\right)\left(\frac{1}{3}y + x\right)\left(\frac{1}{9}y^2 + x^2\right)
]