Давайте разберёмся, как любое квадратное уравнение можно представить в виде (a(x-x_1)(x-x_2)).

Рассмотрим общее квадратное уравнение вида:

[
ax^2 + bx + c = 0
]

где (a), (b), и (c) — коэффициенты (при этом (a \neq 0)). По теореме Безу, если (x_1) и (x_2) — корни этого уравнения (то есть такие значения (x), при которых уравнение равно нулю), то существует такой многочлен (Q(x)), что:

[
ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)
]

Теперь давайте объясним, почему это так:

Корни уравнения: Для любого квадратного уравнения существует два корня (возможно, совпадающих), которые мы обозначим как (x_1) и (x_2). Это следует из теоремы о корнях квадратного уравнения, согласно которой корни можно выразить через дискриминант.

Формула корней: Корни могут быть найдены с помощью формулы:
[
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D = b^2 - 4ac
]

Разложение на множители: Теперь, имея корни, мы можем разложить квадратный многочлен. Запишем (ax^2 + bx + c) в виде:

[
a(x - x_1)(x - x_2)
]

Проверка: Если мы раскроем скобки ( (x - x_1)(x - x_2) ), то получим:

[
(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2
]

Тогда:

[
a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2
]

Можно показать, что:

(a(x_1 + x_2)) совпадает с коэффициентом (b),(a(x_1x_2)) совпадает с коэффициентом (c).Итак, итог: Мы можем рекомбинировать коэффициенты и показать, что для любого квадратного уравнения оно может быть представлено в форме (a(x - x_1)(x - x_2)), где (x_1) и (x_2) — корни уравнения, а (a) — в начале.

Таким образом, любое квадратное уравнение можно разложить в указанную форму, что и требовалось доказать.