Теорема Безу утверждает, что если полином ( P(x) ) имеет корень ( r ), то ( P(r) = 0 ). Кроме того, он говорит о связи между корнями многочлена и его коэффициентами.

Основная идея, почему мы ищем корни многочлена, анализируя делимость на свободный член, заключается в том, что если ( r ) является корнем многочлена ( P(x) ), то многочлен можно записать как произведение ( P(x) = (x - r)Q(x) + P(r) ). Если ( P(r) = 0 ), то это означает, что ( r ) делит свободный член ( P(0) ).

Доказательство этого факта основывается на следующем:

Запишем многочлен ( P(x) ) в общем виде:
[
P(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0
]
где ( a_0 ) — это свободный член.

Подставим ( x = r ) (если ( r ) — корень):
[
P(r) = an r^n + a{n-1} r^{n-1} + \ldots + a_1 r + a_0 = 0
]

Если ( r ) — рациональный корень, то мы можем записать его как ( r = \frac{p}{q} ), где ( p ) и ( q ) — делители свободного члена ( a_0 ) и ведущего коэффициента ( a_n ) соответственно.

Подставляя ( r = \frac{p}{q} ) в многочлен и привводя к общему знаменателю, мы получаем, что ( P \left( \frac{p}{q} \right) = 0 ) означает, что ( a_0 ) (свободный член) должен делиться на ( p^n ) на основании свойств многочлена.

Таким образом, теорема Безу и связанный с ней факт, что если ( r ) — корень, то он является делителем свободного члена, позволяет нам искать возможные корни среди делителей свободного члена.