Чтобы решить уравнение ( \sin 8x + \cos 8x = 1 ), начнем с некоторой трансформации для упрощения.

Учитываем, что ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ). Это свойство тригонометрических функций можно использовать для переписывания уравнения. Но прежде, давайте найдем максимальное значение выражения ( \sin 8x + \cos 8x ):

[
\sin 8x + \cos 8x = \sqrt{2} \sin\left(8x + \frac{\pi}{4}\right)
]
Значит, максимальное значение выражения ( \sin 8x + \cos 8x ) равно ( \sqrt{2} ).

Теперь, для того чтобы ( \sin 8x + \cos 8x = 1 ), это значение должно быть меньше или равно ( \sqrt{2} ). Таким образом, существует решение, но его необходимо найти.

Поскольку ( \sin 8x + \cos 8x = 1 ), мы можем записать это в виде:

[
\sqrt{2} \sin\left(8x + \frac{\pi}{4}\right) = 1
]

Делим обе стороны на ( \sqrt{2} ):

[
\sin\left(8x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}
]

Теперь найдём аргументы ( 8x + \frac{\pi}{4} ):

[
8x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 8x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi
]
где ( k ) — целое число.

Решим каждое из уравнений:

Для первого уравнения:
[
8x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies 8x = 2k\pi \implies x = \frac{k\pi}{4}
]

Для второго уравнения:
[
8x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \implies 8x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}
]

Подытожим:
[
x = \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}
]
и
[
x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}
]

Это все возможные решения уравнения ( \sin 8x + \cos 8x = 1 ).