В задаче нам известно, что трапеция вписывается в окружность (это означает, что трапеция является цилиндрической или равнобедренной и корявом) и имеет периметр 30 и площадь 135.

Для нахождения расстояния от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания мы будем использовать свойства трапеции и её диагоналей.

Основные обозначения:

Пусть ( a ) – длина меньшего основания.Пусть ( b ) – длина большего основания.Пусть ( c ) – длина боковых сторон трапеции. Поскольку трапеция вписана в окружность, боковые стороны равны, значит ( c = d ).

Периметр:
[
a + b + 2c = 30 \tag{1}
]

Площадь:
Площадь трапеции можно выразить через основания и высоту:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = 135 \tag{2}
]
Здесь ( h ) - высота трапеции.

Расстояние от точки пересечения диагоналей: Оно равно ( \frac{h}{2} ), где ( h ) - высота трапеции.

Чтобы выразить высоту ( h ) через периметр и площадь, воспользуемся уравнениями (1) и (2).

Из уравнения (1) можем выразить ( h ):
[
h = \frac{2 \cdot 135}{a + b} \Rightarrow h = \frac{270}{a + b} \tag{3}
]

Теперь подставим ( a + b ) из уравнения (1):
[
h = \frac{270}{30 - 2c} \tag{4}
]

Выразив ( c = \frac{30 - (a + b)}{2} ), мы можем подставить это значение в (4), но нам нужна высота ( h ).

Теперь давайте выражение площади через стороны, зная, что трапеция равнобедренная:
[
A = \sqrt{(s_a)(s_b)(s_c)(s_d)},
]
где ( s = \frac{(a+b+2c)}{2}, a, b, c, d ) соответственно стороны.

Кроме того, ( c = d ) и ( s = 15 ).

Поэтому:
[
s_a = (15 - a), \quad s_b = (15 - b), \quad s_c = (15 - c) = (15 - c).
].

Решив всю систему уравнений, мы найдем ( c = 10 ), и ( h ):

Подставив в (4), получаем
[
h = 15
]

Поэтому расстояние от точки пересечения диагоналей должно равняться
[
\frac{h}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 .
]

Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания равно 7.5.