Чтобы найти значение коэффициента ( c ), нужно учесть, что уравнение функции имеет вид:

[
y = -x^2 + 4x + c
]

Эта функция — парабола, открытая вниз, поскольку коэффициент перед ( x^2 ) отрицательный. Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы, которая находится по координате ( x ):

[
x_{в} = -\frac{b}{2a}
]

В нашем случае ( a = -1 ) и ( b = 4 ):

[
x_{в} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2
]

Теперь подставим ( x = 2 ) в уравнение функции, чтобы найти наибольшее значение ( y ):

[
y(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 + c
]

Вычислим это:

[
y(2) = -4 + 8 + c = 4 + c
]

Согласно условию, наибольшее значение функции равно 2:

[
4 + c = 2
]

Теперь решим это уравнение для ( c ):

[
c = 2 - 4 = -2
]

Таким образом, значение коэффициента ( c ) равно:

[
\boxed{-2}
]