Чтобы доказать, что треугольник A¹A²A³ равен треугольнику O¹O²O³, начнем с изучения свойств равных окружностей и их точек пересечения.

Равные окружности: Поскольку все три окружности равны, радиусы ( r ) окружностей O¹, O², O³ равны ( r_1 = r_2 = r_3 = r ).

Точки пересечения: Точки A¹, A², A³ являются другими точками пересечения окружностей, кроме общей точки пересечения (обозначим её P). Эти точки A¹, A² и A³ лежат на окружностях и являются симметричными относительно линии, проходящей через центры окружностей.

Симметрия: Поскольку окружности равны и пересекаются в одной точке, у нас есть определенная симметрия. Окружности O¹O², O²O³ и O³O¹ будут равны между собой, поскольку они образуют равносторонний треугольник.

Расстояния между центрами: Обозначим дистант между центрами окружностей: ( d{12} = O¹O² ), ( d{23} = O²O³ ), ( d_{31} = O³O¹ ). Поскольку окружности равны, а точки пересечения A¹, A² и A³ формируют вокруг точки P равносторонний треугольник, длины сторон этого треугольника также равны: ( A¹A² = A²A³ = A³A¹ ).

Углы: Углы треугольника O¹O²O³ равны, поскольку это равносторонний треугольник. Поскольку A¹A²A³ также образует равносторонний треугольник, углы между сторонами A¹A², A²A³ и A³A¹ также равны ( 60° ).

Равенство треугольников: Из равенства сторон и углов следует, что треугольник A¹A²A³ равен треугольнику O¹O²O³ по признаку равенства треугольников по стороне и углу.

Таким образом, мы доказали, что треугольник A¹A²A³ равен треугольнику O¹O²O³.