Для построения графика функции ( y = \frac{c^2}{x^2} - 1 ), где ( c ) — константа, можно выполнить следующие шаги:

Определить область определения:
Функция определена для всех ( x \neq 0 ), так как знаменатель ( x^2 ) не может быть равен нулю.

Найти осевые пересечения:

Для нахождения пересечения с осью ( y ) (когда ( x = 0 )) мы уже сказали, что ( x = 0 ) не входит в область определения. Поэтому пересечение с осью ( y ) отсутствует.Для нахождения пересечения с осью ( x ) решаем уравнение ( \frac{c^2}{x^2} - 1 = 0 ):
[
\frac{c^2}{x^2} = 1 \implies c^2 = x^2 \implies x = \pm c.
]
Таким образом, график пересекает ось ( x ) в точках ( x = c ) и ( x = -c ).

Анализ поведения функции:

При ( x \to 0 ) функция ( y ) стремится к бесконечности ( y \to +\infty ).При ( x \to \pm \infty ) функция ( y ) стремится к ( -1 ).В точках ( x = \pm c ) функция меняет свое направление.

Построение графика:
Начните с координатной системы, отметьте точки пересечения с осью ( x ) (то есть ( c ) и ( -c )). Затем проведите асимптоту ( y = -1 ), так как функция приближается к этой линии при ( x \to \pm \infty ).

График:
График будет иметь две ветви, приближающиеся к горизонтальной линии ( y = -1 ) на бесконечности и уходящие к бесконечности при ( x \to 0 ). При этом, ветви будут находиться выше этой асимптоты между пересечениями с осью ( x ) и ниже, когда ( x < -c ) и ( x > c ).

Важно попробовать разные значения ( c ), чтобы увидеть, как это влияет на график. Например, если ( c = 1 ), то у вас будут пересечения в точках ( 1 ) и ( -1 ). Если ( c = 2 ), то пересечения будут в точках ( 2 ) и ( -2 ) и так далее.

Таким образом, использование конкретного значения ( c = 1 ) дает вам базовый график, но общее представление о функции можно получить, исследуя различные значения константы ( c ).