Давайте решим уравнение ((y-3)² + 3(y+2)(y-2) = 9 \cdot 4y²).

Упростим левую часть уравнения. Начнем с первого слагаемого:
((y-3)² = y² - 6y + 9).

Теперь второе слагаемое:
((y+2)(y-2) = y² - 4).
Таким образом,
(3(y+2)(y-2) = 3(y² - 4) = 3y² - 12).

Подставим это в уравнение:
[
(y² - 6y + 9) + (3y² - 12) = 36y².
]

Объединим подобные слагаемые:
[
y² + 3y² - 6y + 9 - 12 = 36y²,
]
[
4y² - 6y - 3 = 36y².
]

Переносим все слагаемые на одну сторону: [
4y² - 6y - 3 - 36y² = 0,
]
[
-32y² - 6y - 3 = 0.
]

Умножим на -1, чтобы упростить уравнение:
[
32y² + 6y + 3 = 0.
]

Решим квадратное уравнение с использованием формулы для нахождения корней: Формула для корней квадратного уравнения (ay² + by + c = 0) выглядит так:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}.
]
В нашем случае (a = 32), (b = 6), (c = 3).

Сначала найдем дискриминант:
[
D = b² - 4ac = 6² - 4 \cdot 32 \cdot 3 = 36 - 384 = -348.
]

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней.

Таким образом, уравнение ((y-3)² + 3(y+2)(y-2) = 9 \cdot 4y²) не имеет действительных корней.