Чтобы решить уравнение (|x - 2| - |x + 1| = 2 - x + a) и найти, при каких значениях параметра (a) оно имеет ровно два корня, сначала проанализируем выражения по отдельности в зависимости от значений (x).

Наша задача сводится к нахождению условий для (a) при строго двух корнях у следующего уравнения:

[
|x - 2| - |x + 1| = 2 - x + a
]

Для решения уравнения мы будем рассматривать три случая, основанных на точках перехода (x = -1) и (x = 2):

Случай 1: (x < -1)

В этом случае (|x - 2| = 2 - x) и (|x + 1| = -x - 1). Уравнение принимает вид:

[
(2 - x) - (-x - 1) = 2 - x + a \implies 2 - x + x + 1 = 2 - x + a \implies 3 = 2 - x + a
]

Таким образом:

[
x = a - 1
]

Для того чтобы это решение было корректным, необходимо, чтобы (a - 1 < -1), т.е. (a < 0).

Случай 2: (-1 \leq x < 2)

В этом случае (|x - 2| = 2 - x) и (|x + 1| = x + 1). Мы имеем:

[
(2 - x) - (x + 1) = 2 - x + a \implies 2 - x - x - 1 = 2 - x + a \implies 1 - 2x = 2 - x + a
]

Перепишем уравнение:

[
-2x + x = 1 - 2 + a \implies -x = -1 + a \implies x = 1 - a
]

Здесь необходимо, чтобы (1 - a \geq -1) и (1 - a < 2):

Из первого неравенства: (1 - a \geq -1 \implies a \leq 2).Из второго неравенства: (1 - a < 2 \implies a > -1).

Случай 3: (x \geq 2)

Здесь (|x - 2| = x - 2) и (|x + 1| = x + 1). Уравнение будет:

[
(x - 2) - (x + 1) = 2 - x + a \implies x - 2 - x - 1 = 2 - x + a \implies -3 = 2 - x + a
]

Это можно упростить:

[
x = a + 5
]

Для этого случая необходимо: (a + 5 \geq 2 \implies a \geq -3).

Теперь у нас есть три условия:

Из первого случая: (a < 0).Из второго случая: (-1 < a \leq 2).Из третьего случая: (a \geq -3).

Чтобы уравнение имело ровно два корня, нужно, чтобы два из этих условий пересекались. Мы видим, что условия 2 и 3 не противоречат друг другу, но первое условие (a < 0) имеет разностные границы для значений (a).

Следовательно, необходимо найти пересечение:

(-1 < a < 0) (из второго условия)(a \leq 2) (входит в интервал).

Таким образом, ответ:

Уравнение (|x - 2| - |x + 1| = 2 - x + a) имеет ровно два корня при значениях (-1 < a < 0).