Для решения задачи найдем площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна (4\sqrt{3}), а боковая грань образует угол (60^\circ) с плоскостью основания.

Определим длину ребра пирамиды:
Обозначим длину бокового ребра пирамиды как (l). Высота (h) и длина бокового ребра образуют прямоугольный треугольник с вертикалью, проведенной из вершины пирамиды к центру основания.

Зная, что угол между боковой гранью и основанием равен (60^\circ), мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины бокового ребра:

[
\sin(60^\circ) = \frac{h}{l}
]
[
l = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8
]

Найдём и определим основание пирамиды:
Основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником. В правильной треугольной пирамиде каждая боковая грань (треугольник) будет равнобедренным треугольником, и все боковые грани будут равны по площади.

Теперь найдем длину стороны основания (a). Для этого мы можем использовать другую тригонометрическую зависимость:

Используя (cos(60^\circ)):

[
\cos(60^\circ) = \frac{a/2}{l}
]
[
a/2 = l \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \implies a = 8
]

Вычислим площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды (S_b) состоит из трех равных треугольников, каждая из которых имеет основание (a) и высоту (h_b) (это высота боковой грани). Мы уже знаем (l) — длина бокового ребра. Теперь найдем высоту бокового треугольника:

Поскольку боковой треугольник — это равнобедренный треугольник:

[
h_b = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
]

Теперь мы можем посчитать площадь одного бокового треугольника:

[
S_t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}
]

Поскольку у нас три такие боковые грани:

[
S_b = 3 \cdot S_t = 3 \cdot 16\sqrt{3} = 48\sqrt{3}
]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды составляет ( \boxed{48\sqrt{3}} ).