Пусть площадь треугольника ARP равна ( S ), тогда мы можем использовать известные нам пропорции для нахождения этой площади.

Согласно условиям, отношение отрезков AC и AR равно ( \frac{AC}{AR} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ). Это означает, что отрезок AC равен ( \frac{1}{3} ) от отрезка AR.

Мы знаем, что площадь треугольника CRP равна 40. Поскольку CRP и ARP имеют общую сторону (RP), и их площади пропорциональны их основаниям (AC и AR), можно написать следующее соотношение для площадей:

[
\frac{S}{40} = \frac{AC}{AR} = \frac{1}{3}
]

Теперь можем выразить площадь треугольника ARP:

[
S = 40 \cdot \frac{1}{3} = \frac{40}{3}
]

Это значение для S — площадь треугольника ARP.

Таким образом, площадь треугольника ARP равна ( \frac{40}{3} ).