В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠B = 90° и ∠C = 45°, следует, что угол A также равен 45° (так как в треугольнике сумма углов равна 180°).

При таком соотношении углов треугольник ABC является равнобедренным. Это означает, что катеты AB и BC равны между собой.

Пусть AB = x и BC = x. По теореме Пифагора для треугольника ABC мы можем записать:

[
AC^2 = AB^2 + BC^2
]

Поскольку AB = BC = x, у нас получится:

[
AC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2
]

По условию задачи AC = 6√2. Подставим это значение:

[
(6\sqrt{2})^2 = 2x^2
]

Это упрощается до:

[
72 = 2x^2
]

Делим обе стороны на 2:

[
36 = x^2
]

Теперь находим x:

[
x = \sqrt{36} = 6
]

Таким образом, длина катета AB равна 6.

Ответ: AB = 6.