Давайте обозначим основание AD как ( a = 6\sqrt{2} ) (меньшее основание), а основание BC как ( b ) (большее основание).

Согласно условию, диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Это значит, что треугольники ( \triangle ABD ) и ( \triangle ACD ) имеют равные углы, и, следовательно, стороны, противолежащие этим углам, также имеют определённое соотношение.

Поскольку угол A равен 45°, то в треугольнике ( ABD ):

[
\frac{AB}{AD} = \frac{BD}{AB}
]

где ( AB ) — сторона, противолежащая углу A. Так как ( \angle A = 45° ), мы можем записать:

[
BD = AB
]

Используя свойства трапеции и то, что ( AC ) — биссектрисa, мы можем применить теорему о биссектрисе:

[
\frac{AD}{BC} = \frac{AB}{AC}
]

В данной ситуации, если мы обозначим ( BC = b ), то:

[
\frac{6\sqrt{2}}{b} = \frac{AB}{AC}
]

Далее, поскольку угол A равен 45°, следовательно: ( \angle B = 90° ), а это означает, что отрезки ( AB ) и ( BD ) послужат сторонами прямоугольного треугольника, а сторона ( CD ) будет равна

[
AC = \sqrt{(AD)^2 + (AB)^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (BD)^2} = \sqrt{72 + BD^2}
]

Так как мы знаем, что ( BD = AB ), подставим это выражение в уравнения.

Теперь, решим систему, используя условия задачи и соотношения:

( AB = BD )Используя теорему о биссектрисах, найдём ( b ).

В результате, будем иметь bijectivity между данными в задаче. Однако, если целенаправленно подойти к решению, мы можем следовать известной формуле поиска:

[
BD = AD \cdot \frac{BC}{AD + BC} \cdot \sqrt{2}
]

Таким образом, при неизвестности ( b ) у нас будет не бескрайним шагом, в зависимости от того как найти ( b ).

Главный вывод: ( BD ) в использовании основ и соотношений, и обоснование через известные базовые формулы даст нам, что:

[
BD = a = 6 \sqrt{2}
]

Таким образом, можно точно вычислить зависимость ( BD) и число может сингулирно отражать непосредственно от значения ( 6 \sqrt{2}. )

Ответ:

[
BD = 6\sqrt{2}.
]