Рассмотрим каждую задачу по очереди.

Найдите первый член геометрической прогрессии: (b_1, b_2, 3, -9, \ldots)

В геометрической прогрессии все члены связаны между собой общим отношением (q). То есть:
[
\frac{b_2}{b_1} = q, \quad \frac{3}{b_2} = q, \quad \frac{-9}{3} = q
]

Из последнего равенства получаем:
[
q = -3
]

Теперь можем выразить (b_2) через (b_1):
[
b_2 = b_1 \cdot q = b_1 \cdot (-3)
]

Подставим это значение в ( \frac{3}{b_2} = -3):
[
\frac{3}{-3b_1} = -3 \implies 3 = 9b_1 \implies b_1 = \frac{1}{3}
]

Ответ: 1.

Найдите номер члена прогрессии, равного 32: (1, r, r^2, \ldots)

Обозначим первый член геометрической прогрессии как (a = 1) и общее отношение (r). Это выражается формулой для n-го члена:
[
a_n = ar^{n-1} = r^{n-1}
]
Приравняем это к 32:
[
r^{n-1} = 32
]
Поскольку (32 = 2^5), можно взять (r = 2):
[
2^{n-1} = 2^5 \implies n - 1 = 5 \implies n = 6
]

Ответ: Б. 6.

Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии: (b = 2^{n-2})

Здесь (b_n = 2^{n-2}), первый член (b_1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}), общее отношение (q = 2).

Формула суммы первых (n) членов геометрической прогрессии:
[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
]
Для этой прогрессии:
[
S_7 = \frac{1/2 (2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{1/2 (128 - 1)}{1} = \frac{1}{2} \cdot 127 = 63.5
]

Ответ: Б. 63,5.

Найдите первый член прогрессии, если 4-й член равен 3, а 7-й равен 81.

Используя формулы для n-го члена:
[
a_4 = a \cdot q^3 = 3
]
[
a_7 = a \cdot q^6 = 81
]
Поделим уравнения:
[
\frac{a \cdot q^6}{a \cdot q^3} = \frac{81}{3} \implies q^3 = 27 \implies q = 3
]
Теперь заменим (q) в первом уравнении:
[
a \cdot 3^3 = 3 \implies a \cdot 27 = 3 \implies a = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}
]

Ответ: (a = \frac{1}{9}).

Сколько членов прогрессии 48, -24 ... больше числа 0,5?

Найдем общее отношение (q):
[
q = \frac{-24}{48} = -\frac{1}{2}
]
Условия для n-го члена:
[
a_n = 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}
]
Необходимо решить:
[
48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} > 0.5
]
Перепишем неравенство:
[
\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} > \frac{0.5}{48} = \frac{1}{96}
]
Теперь посмотрим, что не может быть:
[
48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0.5 \implies \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{96}
]

Это неравенство имеет решение для четных n:
Решая, найдём для (n):
Т.к. последовательность уменьшается, будем искать четные n, которые соответствуют положительном значению.

Обратите внимание, что наш первый член 48, второй -24, и т.д.
Решим:
Если четные n, т.е. (n=2k)

(48 > 0.5) когда (k = 1, 2, 3, ...)

Проверим знаки:
Вернемся к обращению: 48, -24, т.е. n не уйдём ни на одно.
Итог будет зависеть от многих: Прямолинейные: (доступные).

Ответ: посчитайте при (n), получаете наглядно не менее 8.