Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = \frac{5}{2} \sqrt{3x + 2} + \frac{1}{\sin^2(4x)} ), мы будем интегрировать каждый из слагаемых по отдельности.

1. Интегрирование первого слагаемого:

Рассмотрим первое слагаемое:
[
\int \frac{5}{2} \sqrt{3x + 2} \, dx.
]

Чтобы упростить интеграл, сделаем замену переменной:
[
u = 3x + 2 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3}.
]
Теперь, когда мы подставим переменные в интеграл, мы получим:
[
\int \frac{5}{2} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{5}{6} \int \sqrt{u} \, du.
]

Интеграл (\int \sqrt{u} \, du) равен (\frac{2}{3} u^{3/2} + C). Подставим это обратно:
[
\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{5}{9} u^{3/2}.
]
Теперь вернемся к переменной (x):
[
u = 3x + 2 \implies \frac{5}{9} (3x + 2)^{3/2}.
]

2. Интегрирование второго слагаемого:

Рассмотрим второе слагаемое:
[
\int \frac{1}{\sin^2(4x)} \, dx = \int \csc^2(4x) \, dx.
]
Интеграл (\int \csc^2(kx) \, dx) равен (-\frac{1}{k} \cot(kx) + C). Здесь (k = 4):
[
\int \csc^2(4x) \, dx = -\frac{1}{4} \cot(4x).
]

3. Сложение результатов:

Теперь объединим результаты интегрирования:
[
\int f(x) \, dx = \frac{5}{9} (3x + 2)^{3/2} - \frac{1}{4} \cot(4x) + C.
]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) ) равна:
[
F(x) = \frac{5}{9} (3x + 2)^{3/2} - \frac{1}{4} \cot(4x) + C.
]