Задача 1: Уравнение касательной к графику функции

Для нахождения уравнения касательной к графику функции ( f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5 ) в точке ( x_0 = 3 ):

Найдем значение функции в точке ( x_0 ):
[
f(3) = 2(3^3) - 4(3^2) + 5 = 2(27) - 4(9) + 5 = 54 - 36 + 5 = 23.
]

Теперь найдем производную ( f'(x) ):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 4x^2 + 5) = 6x^2 - 8.
]

Найдем значение производной в точке ( x_0 ):
[
f'(3) = 6(3^2) - 8 = 6(9) - 8 = 54 - 8 = 46.
]

Уравнение касательной в точке ( (x_0, f(x_0)) ) имеет вид:
[
y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0).
]
Подставим известные значения:
[
y - 23 = 46(x - 3).
]

Упрощая, получим:
[
y = 46x - 138 + 23,
]
[
y = 46x - 115.
]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( f(x) ) в точке ( x_0 = 3 ) равно:
[
y = 46x - 115.
]

Задача 2: Промежутки монотонности и точки экстремума функции

Для функции ( f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 3 ):

Найдем производную функции:
[
f'(x) = 3x^2 + 12x - 15.
]

Найдем критические точки, решив уравнение ( f'(x) = 0 ):
[
3x^2 + 12x - 15 = 0.
]
Упростим его:
[
x^2 + 4x - 5 = 0.
]

Найдем корни, используя формулу корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}.
]
Корни:
[
x_1 = 1, \quad x_2 = -5.
]

Теперь найдём промежутки монотонности. Для этого анализируем знак производной ( f'(x) ) на интервалах:

Выберем тестовые точки в интервалах: ( (-\infty, -5) ), ( (-5, 1) ), ( (1, \infty) ).

Для ( x < -5 ) (например, ( x = -6 )):
[
f'(-6) = 3(-6)^2 + 12(-6) - 15 = 108 - 72 - 15 = 21 \quad (>0) \quad (\text{возрастающая})
]

Для ( -5 < x < 1 ) (например, ( x = 0 )):
[
f'(0) = 3(0)^2 + 12(0) - 15 = -15 \quad (<0) \quad (\text{убывающая})
]

Для ( x > 1 ) (например, ( x = 2 )):
[
f'(2) = 3(2)^2 + 12(2) - 15 = 12 + 24 - 15 = 21 \quad (>0) \quad (\text{возрастающая})
]

Таким образом, мы имеем:

Функция возрастает на интервале ( (-\infty, -5) ) и ( (1, \infty) ).Функция убывает на интервале ( (-5, 1) ).

Точки экстремума:

Минимум в точке ( x = -5 ).Максимум в точке ( x = 1 ).

В итоге:

Промежутки монотонности: функция возрастает на ( (-\infty, -5) ) и ( (1, \infty) ), убывает на ( (-5, 1) ).Точками экстремума являются: минимум в ( x = -5 ) и максимум в ( x = 1 ).