Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (y^2 = x), (x = 0) и (x = 4), начнем с анализа графиков этих линий.

Уравнение (y^2 = x): Это парабола, которая открыта вправо. Корни этого уравнения показывают, что (y) может принимать значения (\pm\sqrt{x}).

Линии (x = 0) и (x = 4): Эти линии представляют собой вертикальные линии, которые ограничивают область по оси (x).

Теперь найдем точки пересечения. Поскольку (x) варьируется от 0 до 4, подставим это значение в уравнение параболы.

Для (x = 0):
[
y^2 = 0 \implies y = 0
]

Для (x = 4):
[
y^2 = 4 \implies y = \pm 2
]

Теперь мы знаем, что фигура ограничена:

Снизу: линией (y = -\sqrt{x})Сверху: линией (y = \sqrt{x})Слева: (x = 0)Справа: (x = 4)

Теперь найдем площадь фигуры, используя интеграл. Площадь (A) можно найти по формуле:

[
A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx
]

где (f(x) = \sqrt{x}) (верхняя граница) и (g(x) = -\sqrt{x}) (нижняя граница), а пределы интегрирования:
(a = 0) и (b = 4).

Подставим это в формулу для площади:

[
A = \int{0}^{4} (\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) \, dx = \int{0}^{4} (2\sqrt{x}) \, dx
]

Теперь вычислим интеграл:

[
A = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx
]

Напомним, что (\int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2}). Подставим пределы:

[
A = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{4}
]

Вычислим значения:

[
= 2 \left( \frac{2}{3} (4^{3/2}) - \frac{2}{3} (0^{3/2}) \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot (8) = \frac{32}{3}
]

Итак, площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна (\frac{32}{3}) квадратных единиц.