Для решения обеих задач, давайте поочередно рассмотрим каждую из них.

1. Уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5 в точке x0 = 3

Сначала найдем производную функции f(x), которая даст нам наклон касательной:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 4x^2 + 5) ]
[ f'(x) = 6x^2 - 8x ]

Теперь подставим ( x_0 = 3 ) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной:

[ f'(3) = 6(3^2) - 8(3) = 6 \cdot 9 - 24 = 54 - 24 = 30 ]

Теперь найдем значение функции в точке x0:

[ f(3) = 2(3^3) - 4(3^2) + 5 = 2(27) - 4(9) + 5 = 54 - 36 + 5 = 23 ]

Таким образом, точка касания (x0, f(x0)) = (3, 23).

Теперь можем записать уравнение касательной. Уравнение касательной в точке ( x_0 ) имеет вид:

[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) ]

Подставляем значения:

[ y - 23 = 30(x - 3) ]

Упрощаем и получаем уравнение касательной:

[ y = 30x - 90 + 23 ]
[ y = 30x - 67 ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x0 = 3:

( y = 30x - 67 )2. Промежутки монотонности и точки экстремумов функции f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x - 3

Сначала найдем производную функции:

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 - 15x - 3) ]
[ f'(x) = 3x^2 + 12x - 15 ]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

[ 3x^2 + 12x - 15 = 0 ]

Разделим уравнение на 3:

[ x^2 + 4x - 5 = 0 ]

Решим с помощью формулы корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1, b = 4, c = -5 ):

[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ]

Находим корни:

[ x = \frac{-4 \pm 6}{2} ]
[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 ]

Теперь у нас есть критические точки ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -5 ).

Теперь определим знаки производной на интервалах:

Для интервала ( (-\infty, -5) ):
Выберем тестовую точку ( x = -6 ):
[ f'(-6) = 3(-6)^2 + 12(-6) - 15 = 108 - 72 - 15 = 21 \quad (\text{положительно})]

Для интервала ( (-5, 1) ):
Выберем тестовую точку ( x = 0 ):
[ f'(0) = 3(0)^2 + 12(0) - 15 = -15 \quad (\text{отрицательно})]

Для интервала ( (1, \infty) ):
Выберем тестовую точку ( x = 2 ):
[ f'(2) = 3(2)^2 + 12(2) - 15 = 12 + 24 - 15 = 21 \quad (\text{положительно})]

Подытожим:Функция возрастает на интервалах ( (-\infty, -5) ) и ( (1, \infty) )Функция убывает на интервале ( (-5, 1) )

Теперь определим точки экстремумов:

На ( x = -5 ) — локальный максимум (переход от роста к убыванию)На ( x = 1 ) — локальный минимум (переход от убывания к росту)

Итак, мы нашли, что:

Промежутки монотонности:

Возрастает на ( (-\infty, -5) ) и ( (1, \infty) )Убывает на ( (-5, 1) )

Точки экстремумов:

Локальный максимум в ( x = -5 )Локальный минимум в ( x = 1 )