Чтобы рассчитать новую ежемесячную плату за интернет после увеличения на 5%, нужно сначала вычислить 5% от текущей суммы и затем прибавить эту величину к первоначальной сумме.

Вычисляем 5% от 820 рублей:
[
5\% = 0.05 \times 820 = 41 \text{ рублей}
]

Добавляем эту сумму к первоначальной плате:
[
820 + 41 = 861 \text{ рублей}
]

Таким образом, новая ежемесячная плата за интернет составит 861 рубль.