Давайте начнем с решения задачи шаг за шагом.

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Обозначим:

( a ) — сторона основания (квадрат),( r ) — радиус описанной окружности около основания.

Так как окружность описана около квадрата (основания пирамиды), мы знаем, что радиус описанной окружности вокруг квадрата равен
[ r = \frac{a \sqrt{2}}{2}. ]

Дано, что радиус описанной окружности равен 3, следовательно:
[
3 = \frac{a \sqrt{2}}{2}.
]

Отсюда можно выразить сторону основания:
[
a \sqrt{2} = 6 \Rightarrow a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.
]

Теперь, апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 8. Она является расстоянием от вершины пирамиды до центра основания, т.е. от вершины до точки, где перпендикуляр проходит до основания. В таком случае, мы можем найти высоту пирамиды ( h ).

Для нахождения двугранного угла при основании пирамиды ( \alpha ), используем треугольник, который образуется между вершиной пирамиды, серединой стороны основания и одной из вершин квадрата. В этом треугольнике:

одна сторона ( h ) (высота),другая сторона — радиус окружности (радиус описанной окружности), который равен ( r = 3 ),гипотенуза — апофема, равная 8.

Сначала найдем высоту ( h ) с использованием теоремы Пифагора:
[
h^2 + r^2 = \text{апофема}^2
]
[
h^2 + 3^2 = 8^2
]
[
h^2 + 9 = 64
]
[
h^2 = 64 - 9 = 55
]
[
h = \sqrt{55}.
]

Теперь, чтобы найти синус двугранного угла ( \alpha ), используем отношение:
[
\sin(\alpha) = \frac{r}{\text{апофема}} = \frac{3}{8}.
]

Итак, синус двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды равен:
[
\sin(\alpha) = \frac{3}{8}.
]

Ответ: Синус двугранного угла при основании пирамиды равен (\frac{3}{8}).