Обозначим два последовательных натуральных числа как ( n ) и ( n+1 ). Условие задачи говорит о том, что эти числа имеют остаток 3 при делении на 4. Это означает, что мы можем записать ( n \equiv 3 \mod 4 ) и ( n+1 \equiv 0 \mod 4 ).

Теперь вычислим сумму квадратов этих чисел:

[
A = n^2 + (n+1)^2
]

Воспользуемся формулой разложения:

[
A = n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 2n^2 + 2n + 1
]

Теперь нужно найти остаток от деления этой суммы на 4. Рассмотрим ( n ) по модулю 4. Поскольку ( n \equiv 3 \mod 4 ), подставим значение ( n = 4k + 3 ) для некоторого целого ( k ).

Теперь найдем ( n^2 \mod 4 ):

[
n^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 1 \mod 4
]

Подставим это значение в формулу для ( A ):

[
A = 2n^2 + 2n + 1
]
[
n \equiv 3 \mod 4 \Rightarrow 2n \equiv 2 \cdot 3 \equiv 6 \equiv 2 \mod 4
]
[
A \equiv 2 \cdot 1 + 2 + 1 \mod 4
]
[
A \equiv 2 + 2 + 1 \equiv 5 \equiv 1 \mod 4
]

Таким образом, остаток от деления числа ( A ) на 4 равен 1.

Ответ: 1.