Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды, нужно использовать формулу для боковой поверхности усеченной пирамиды:

[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) \cdot l,
]

где ( P_1 ) и ( P_2 ) — периметры оснований, а ( l ) — наклонная высота (длина бокового ребра).

Найдём периметры оснований:

Основания имеют правильную треугольную форму, поэтому:

Для основания с стороной 5 см:
[
P_1 = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}.
]Для основания с стороной 9 см:
[
P_2 = 3 \cdot 9 = 27 \text{ см}.
]

Наклонная высота: Боковое ребро равно ( 2\sqrt{10} ) см. Это и есть длина наклонной высоты ( l ).

Подставляем данные в формулу для боковой поверхности: [
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2} \cdot (15 + 27) \cdot 2\sqrt{10}.
]
Сначала посчитаем ( P_1 + P_2 ):
[
P_1 + P2 = 15 + 27 = 42 \text{ см}.
]
Теперь подставим:
[
S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 2\sqrt{10} = 21 \cdot 2\sqrt{10} = 42\sqrt{10} \text{ см}^2.
]

Итак, площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды составляет ( 42\sqrt{10} \text{ см}^2 ).