Для нахождения длины гипотенузы (c) в прямоугольном треугольнике с катетами (a) и (b) можно воспользоваться теоремой Пифагора:

[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]

В нашем случае:

[
a = 10\sqrt{10}, \quad b = 5\sqrt{3}
]

Посчитаем (a^2) и (b^2):

[
a^2 = (10\sqrt{10})^2 = 100 \cdot 10 = 1000
]

[
b^2 = (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75
]

Теперь подставим эти значения в формулу для гипотенузы:

[
c = \sqrt{1000 + 75} = \sqrt{1075}
]

Можно упростить (1075):

[
1075 = 25 \cdot 43
]

Поэтому:

[
c = \sqrt{25 \cdot 43} = 5\sqrt{43}
]

Таким образом, длина гипотенузы равна:

[
\boxed{5\sqrt{43}}
]