Чтобы доказать свойство отношения делимости, что любой делитель данного натурального числа ( a ) не превосходит этого числа, рассмотрим следующее:

Пусть ( a ) — натуральное число, а ( d ) — делитель числа ( a ). Это означает, что существует такое натуральное число ( k ), что:

[
a = d \cdot k
]

Теперь, поскольку ( a ) и ( d ) — натуральные числа, ( k ) также должно быть натуральным. Мы можем рассмотреть два случая:

Если ( k = 1 ): В этом случае у нас есть

[
a = d \cdot 1 = d.
]

Значит, ( d ) чётко равно ( a ).

Если ( k > 1 ): Тогда ( k ) может принимать значения 2, 3, 4 и так далее. В этом случае можно выразить ( d ) как:

[
d = \frac{a}{k}.
]

Поскольку ( k ) — натуральное число и ( k \geq 2 ), то мы имеем:

[
d = \frac{a}{k} \leq a,
]

поскольку деление натурального числа ( a ) на натуральное число ( k ) (больше или равное 2) всегда дает результат, который меньше или равен ( a ).

Таким образом, в обоих случаях мы видим, что делитель ( d ) не превосходит ( a ):

[
d \leq a.
]

Следовательно, мы доказали, что любой делитель натурального числа ( a ) не превосходит это число.