Чтобы решить задачу, давайте последовательно найдем необходимую информацию для треугольника с данными вершинами А(1, –1), В(–5, 2), С(–2, 3).

1) Уравнение стороны АВ и ее длина

Сначала найдем коэффициенты уравнения прямой, проходящей через точки ( A(1, -1) ) и ( B(-5, 2) ).

Нахождение углового коэффициента (k):
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-1)}{-5 - 1} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}
]

Теперь запишем уравнение прямой в канонической форме:
[
y - y_1 = k(x - x_1)
]
Подставим ( A(1, -1) ):
[
y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 1)
]
[
y + 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
]
[
y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}
]

Нахождение длины отрезка AB:
[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
]

2) Уравнение высоты, проведенной через вершину B, и ее длина

Чтобы найти уравнение высоты, проведенной через точку ( B(-5, 2) ), мы должны найти перпендикуляр к стороне ( AC ). Сначала найдем угловой коэффициент стороны AC:

Нахождение углового коэффициента (k):
[
k_{AC} = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x1} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 1} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}
]
Угловой коэффициент высоты будет обратным и противоположным:
[
k{h} = \frac{3}{4}
]

Теперь запишем уравнение высоты, проходящей через точку ( B(-5, 2) ):
[
y - 2 = \frac{3}{4}(x + 5)
]
[
y - 2 = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4}
]
[
y = \frac{3}{4}x + \frac{23}{4}
]

Нахождение длины высоты. Сначала найдем расстояние от точки B до стороны AC. Уравнение прямой AC:
[
y - y1 = k{AC}(x - x_1) \Rightarrow y - (-1) = -\frac{4}{3}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}
]
Используем формулу расстояния от точки до прямой:
[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
]
Где ( A = -4, B = 3, C = 1 ) (исходя из уравнения в форме ( Ax + By + C = 0 )):
[
d = \frac{|-4(-5) + 3(2) + 1|}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} = \frac{|20 + 6 + 1|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{27}{5} = 5.4
]

3) Уравнение медианы, проведенной через вершину С

Медиана, проведенная из точки ( C(-2, 3) ), соединяет ( C ) со срединной точкой ( M ) отрезка ( AB ):

Нахождение координат M:
[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = M\left(\frac{1 + (-5)}{2}, \frac{-1 + 2}{2}\right) = M\left(-2, \frac{1}{2}\right)
]

Теперь найдем угловой коэффициент ( k ) для медианы:
[
k_{CM} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C} = \frac{\frac{1}{2} - 3}{-2 - (-2)} = \text{(недопустимо, деление на ноль)}
]
Медиана вертикальна, так как точки C и M имеют одинаковую абсциссу, и уравнение будет:
[
x = -2
]

4) Внутренний угол A

Внутренний угол ( A ) можно найти, используя косинус угла между векторами ( AB ) и ( AC ):

Векторы:
[
AB = B - A = (-5 - 1, 2 - (-1)) = (-6, 3)
]
[
AC = C - A = (-2 - 1, 3 - (-1)) = (-3, 4)
]

Далее, используем формулу для косинуса:
[
\cos A = \frac{AB \cdot AC}{|AB| |AC|} = \frac{(-6)(-3) + (3)(4)}{\sqrt{(-6)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = \frac{18 + 12}{\sqrt{45} \cdot 5} = \frac{30}{15\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
]

Теперь найдем угол А:
[
A = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)
]

5) Чертёж

Для чертежа используйте точки A, B и C, чтобы построить треугольник, а затем отметьте высоту, медиану и стороны. Вы можете воспользоваться графическим редактором или бумагой для рисования.

Таким образом, мы нашли уравнения сторон, высоты, медианы, угол A и длины отрезков в треугольнике ABC.