Для нахождения производной функций, указанных в вашем запросе, мы воспользуемся правилами дифференцирования, в том числе цепным правилом и правилом производной степени.

1. Найдем производную функции:

[ f(x) = 4^{\sqrt{3x^2}} + 4(3x-1)^4 ]

Шаг 1: Найдем производную первой части ( 4^{\sqrt{3x^2}} ).

Используем правило дифференцирования для функции вида ( a^{g(x)} ):
[
\frac{d}{dx}(a^{g(x)}) = a^{g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g'(x)
]
где ( a = 4 ) и ( g(x) = \sqrt{3x^2} ).

Найдем производную ( g(x) ):
[
g(x) = (3x^2)^{1/2} = \sqrt{3} |x|
]
В большинстве случаев мы можем просто взять ( g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x^2}} \cdot 2x = \frac{3x}{\sqrt{3x^2}} = \sqrt{3} \, \text{(при x>0)} ).

Теперь найдём производную:
[
\frac{d}{dx}(4^{\sqrt{3x^2}}) = 4^{\sqrt{3x^2}} \cdot \ln(4) \cdot \sqrt{3}
]

Шаг 2: Найдем производную второй части ( 4(3x-1)^4 ).

Используем правило для степенной функции:
[
\frac{d}{dx}(c \cdot (g(x))^n) = c \cdot n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)
]
где ( c = 4, \, g(x) = 3x-1, \, n = 4 ).

Тогда:
[
g'(x) = 3 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(4(3x-1)^4) = 4 \cdot 4 \cdot (3x-1)^3 \cdot 3 = 48(3x-1)^3
]

Шаг 3: Соединим результаты:

Теперь, комбинируя обе части, получаем:
[
f'(x) = 4^{\sqrt{3x^2}} \cdot \ln(4) \cdot \sqrt{3} + 48(3x-1)^3
]

2. Найдем производную функции:

[ f(x) = 3^{\sqrt{2x+1}} \cdot (2x-3)^3 ]

Шаг 1: Найдем производную первой части ( 3^{\sqrt{2x+1}} ).

Аналогично предыдущему примеру:
[
g(x) = \sqrt{2x+1} \quad \text{и} \quad g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}
]
Таким образом:
[
\frac{d}{dx}(3^{\sqrt{2x+1}}) = 3^{\sqrt{2x+1}} \cdot \ln(3) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}}
]

Шаг 2: Найдем производную второй части ((2x-3)^3).

Используя правило для степенной функции, получаем:
[
g'(x) = 2 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}((2x-3)^3) = 3(2x-3)^2 \cdot 2 = 6(2x-3)^2
]

Шаг 3: Используем правило произведения:

Теперь применим правило произведения:
[
f'(x) = u'v + uv'
]
где (u = 3^{\sqrt{2x+1}}, v = (2x-3)^3).

Итак:
[
f'(x) = \left(3^{\sqrt{2x+1}} \cdot \ln(3) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \cdot (2x-3)^3\right) + \left(3^{\sqrt{2x+1}} \cdot 6(2x-3)^2\right)
]

Итог:

Таким образом, производная функции ( f(x) ):
[
f'(x) = 3^{\sqrt{2x+1}} \left(\frac{(2x-3)^3 \ln(3)}{\sqrt{2x+1}} + 6(2x-3)^2\right)
]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна еще какая-то помощь, дайте знать!