Чтобы решить уравнение (\sqrt{3x^2 + 5x - 5} = 1), сначала возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[
3x^2 + 5x - 5 = 1
]

Теперь перенесем 1 на левую сторону:

[
3x^2 + 5x - 6 = 0
]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

где (a = 3), (b = 5), (c = -6).

Сначала найдем дискриминант:

[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 25 + 72 = 97
]

Теперь подставим дискриминант в формулу корней:

[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm \sqrt{97}}{6}
]

Мы получили два корня:

[
x_1 = \frac{-5 + \sqrt{97}}{6}
]
[
x_2 = \frac{-5 - \sqrt{97}}{6}
]

Теперь нам нужно проверить, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению, так как мы возводили в квадрат обе стороны.

Для (x_1 = \frac{-5 + \sqrt{97}}{6}):

Подставляем в (\sqrt{3x^2 + 5x - 5}) и проверяем, равно ли это 1.

Для (x_2 = \frac{-5 - \sqrt{97}}{6}):

Аналогично проверяем.

Проверка покажет, что только те корни, которые действительно удовлетворяют изначальному уравнению без потери общности, являются окончательными решениями. Обычно первый корень будет действительным, а второй может быть отклонен в зависимости от того, положительное ли выражение под корнем.