Для решения задачи векторным методом, сначала определим координаты всех важных точек правильной треугольной призмы ( ABC A_1 B_1 C_1 ), где все ребра равны 2.

Определим координаты точек:

Пусть точка ( A ) будет в начале координат ((0, 0, 0)).

Поскольку ( ABC ) — правильный треугольник со стороной 2, его координаты можно задать следующим образом:
[ A(0, 0, 0) ]
[ B(2, 0, 0) ]
[ C(1, \sqrt{3}, 0) ]

Высота призмы равна 2, поэтому координаты точек на верхней плоскости будут:
[ A_1(0, 0, 2) ]
[ B_1(2, 0, 2) ]
[ C_1(1, \sqrt{3}, 2) ]

Найдем координаты точки ( K ): ( K ) — середина ребра ( CB ):
[
K = \left( \frac{C_x + B_x}{2}, \frac{C_y + B_y}{2}, \frac{C_z + B_z}{2} \right) = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{\sqrt{3} + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right)
]

Векторы ( \vec{CA_1} ) и ( \vec{B_1K} ):

Вектор ( \vec{CA_1} ):
[
\vec{CA_1} = A_1 - C = (0, 0, 2) - (1, \sqrt{3}, 0) = (-1, -\sqrt{3}, 2)
]

Вектор ( \vec{B_1K} ):
[
\vec{B_1K} = K - B_1 = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right) - (2, 0, 2) = \left( \frac{3}{2} - 2, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 2 \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2 \right)
]

Найдем угол между векторами ( \vec{CA_1} ) и ( \vec{B_1K} ): Угол ( \theta ) между двумя векторами может быть найден с помощью скалярного произведения:
[
\cos \theta = \frac{\vec{CA_1} \cdot \vec{B_1K}}{|\vec{CA_1}| |\vec{B_1K}|}
]

Н найдем скалярное произведение:
[
\vec{CA_1} \cdot \vec{B_1K} = (-1)(-\frac{1}{2}) + (-\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (2)(-2) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 4 = -4
]

Н найдем длины векторов:
[
|\vec{CA_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
[
|\vec{B_1K}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4} = \sqrt{5}
]

Подставляем значения в формулу для расчета косинуса угла: [
\cos \theta = \frac{-4}{(2\sqrt{2})\sqrt{5}} = \frac{-4}{2\sqrt{10}} = \frac{-2}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{5}
]

Находим угол ( \theta ): [
\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{10}}{5}\right)
]

Таким образом, угол между прямыми ( CA_1 ) и ( B_1K ) равен ( \arccos\left(-\frac{\sqrt{10}}{5}\right) ).