Для решения задачи о количестве четырехугольников, которые можно построить с данными сторонами 1, 2, 3 и 4 см, нужно воспользоваться неравенством треугольника. Неравенство для четырехугольников гласит, что сумма длин любых трех сторон должна быть больше длины четвертой стороны.

Обозначим стороны четырехугольника как (a = 1), (b = 2), (c = 3), (d = 4). Теперь проверим все возможные комбинации:

(a + b + c > d) : (1 + 2 + 3 > 4 \quad \Rightarrow \quad 6 > 4) (выполняется)(a + b + d > c) : (1 + 2 + 4 > 3 \quad \Rightarrow \quad 7 > 3) (выполняется)(a + c + d > b) : (1 + 3 + 4 > 2 \quad \Rightarrow \quad 8 > 2) (выполняется)(b + c + d > a) : (2 + 3 + 4 > 1 \quad \Rightarrow \quad 9 > 1) (выполняется)

Все условия неравенства выполняются, что означает, что такой четырехугольник можно построить.

Теперь выясним, сколько существует различных четырехугольников с этими сторонами. Стороны могут быть расположены в различных порядках. Число перестановок 4 элементов (сторон) равно (4! = 24). Однако, поскольку стороны 1, 2, 3 и 4 различны, все 24 перестановки будут давать разные четырехугольники.

Таким образом, можно построить 24 различных четырехугольника с заданными сторонами 1 см, 2 см, 3 см и 4 см.