Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в круге радиуса 10 см не попадет в треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см, необходимо сначала вычислить площадь круга и площадь треугольника.

Площадь круга: Площадь круга рассчитывается по формуле:
[
S{\text{круга}} = \pi r^2,
]
где ( r ) — радиус круга. В нашем случае ( r = 10 ) см:
[
S{\text{круга}} = \pi \times 10^2 = 100\pi \text{ см}^2.
]

Площадь треугольника: Для треугольника со сторонами 5 см, 12 см и 13 см можно использовать формулу Герона для вычисления площади:
[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},
]
где ( s ) — полупериметр треугольника, ( a ), ( b ), ( c ) — длины сторон треугольника.

Сначала найдем полупериметр:
[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15 \text{ см}.
]

Теперь вычислим площадь:
[
S = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см}^2.
]

Вероятность попадания точки в треугольник: Вероятность того, что точка попадет в треугольник, может быть найдена как отношение площади треугольника к площади круга:
[
P{\text{попадания}} = \frac{S{\text{треугольника}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{10\sqrt{3}}{100\pi} = \frac{\sqrt{3}}{10\pi}.
]

Вероятность того, что точка не попадет в треугольник: Теперь, зная вероятность попадания, найдем вероятность не попадания:
[
P{\text{не попадания}} = 1 - P{\text{попадания}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{10\pi}.
]

Таким образом, вероятность того, что точка не попадет в треугольник, равна:
[
1 - \frac{\sqrt{3}}{10\pi}.
]