В трапеции ABCD, где диагонали AC и BD перпендикулярны и равны 9 см и 12 см соответственно, средняя линия трапеции (которая соединяет середины оснований) будет равна половине суммы оснований.

Чтобы найти среднюю линию трапеции, нам сначала нужно определить длины оснований ( a ) и ( b ) (где ( a ) и ( b ) - это длины верхнего и нижнего основания соответственно).

В трапеции, где диагонали перпендикулярны, длину средних линий можно выразить как:
[
m = \frac{a + b}{2}
]

В данной ситуации мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках, которые формируются диагоналями и сторонами трапеции. Однако, поскольку у нас нет конкретной информации о длинах оснований, воспользуемся следующей зависимостью:

Площадь трапеции можно выразить через диагонали и угол (в данном случае угол 90 градусов):
[
S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2
]
где ( d_1 ) и ( d_2 ) - длины диагоналей.

Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54 \text{ см}^2
]

Далее, используя формулу площади трапеции:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
где ( h ) - высота трапеции. Так как мы не знаем высоту, мы можем воспользоваться свойством, что в трапеции с перпендикулярными диагоналями, средняя линия равна:
[
m = \sqrt{d_1^2 + d_2^2}
]

Сначала найдем среднюю линию:
[
m = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}
]

Таким образом, средняя линия трапеции ABCD равна 15 см.