В данном прямоугольном треугольнике МРК с прямым углом в К, угол при вершине М равен 120°, следовательно, угол при вершине Р будет равен 60° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, а угол К равен 90°).

Обозначим:

МК = a (катет),МР = b (катет),КР = c (гипотенуза).

Согласно условию, у нас есть:

( a + b = 24 ) см (сумма катетов).Угол МРК = 90°, угол РМК = 60°, угол КМР = 30°.

Используя свойства треугольника, можем применить тригонометрические функции:

Согласно определениям для 30-60-90° треугольника применим следующую зависимость:

[
\frac{МК}{МР} = \tan(60°) = \sqrt{3}
]
что можно выразить как:

[
\frac{a}{b} = \sqrt{3}
]

Из этого уравнения получаем:

[
a = b \cdot \sqrt{3}
]

Теперь подставим это выражение в уравнение (1):

[
b \cdot \sqrt{3} + b = 24
]
[
b(\sqrt{3} + 1) = 24
]

Теперь найдем (b):

[
b = \frac{24}{\sqrt{3} + 1}
]

Чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3} - 1):

[
b = \frac{24(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{24(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{24(\sqrt{3} - 1)}{2} = 12(\sqrt{3} - 1)
]

Теперь можем найти значение (b):

Сначала вычислим (\sqrt{3} \approx 1.732).Тогда ( b \approx 12(1.732 - 1) \approx 12(0.732) \approx 8.784 ).

Окончательно, длина катета МР:

[
МР \approx 12(\sqrt{3} - 1) \approx 8.784 \text{ см}.
]

Таким образом, ( МР ) приблизительно равен 8.78 см.