Чтобы найти натуральные числа, удовлетворяющие условиям, нужно рассмотреть два условия: сумма цифр равна 15 и произведение цифр равно 5.

Начнем с произведения. Его значение 5 может быть получено несколькими комбинациями цифр:

5 (только одна цифра 5)1 * 5 (комбинация из двух цифр 1 и 5)1 1 5 (комбинация из трех цифр 1, 1 и 5)Мы не можем получить произведение 5 с другими цифрами, поскольку для этого нужны другие комбинации, которые либо не дают натуральных чисел, либо превышают 5.

Теперь рассмотрим каждую из типов:

Цифра 5:

Если 5 является единственной цифрой, то её сумма уже равна 5, а нам требуется 15. Это не подходит.

Цифры 1 и 5:

Если у нас есть одна цифра 5 и ( n ) единиц, то сумма будет ( 5 + n = 15 ), следовательно, ( n = 10 ). Это означает, что у нас должны быть 10 единиц и 1 цифра 5.Можно это представить как 11 цифр, где 5 однажды, а единицы — 10 раз. Количество перестановок для этих цифр можно найти по формуле:
[
\frac{11!}{10! \cdot 1!} = 11.
]

Цифры 1, 1 и 5:

Если у нас есть две цифры 1 и одна 5, тогда сумма будет ( 5 + 1 + 1 = 7 ), и нам не хватает для достижения суммы 15. Поэтому эта комбинация тоже не подходит.

Таким образом, единственным способом получения натурального числа, которое соответствует нашим условиям, является использование одной цифры 5 и десяти цифр 1.

Количество таких чисел составляет 11. Ответ: 11 натуральных чисел, у которых сумма цифр равна 15, а произведение равно 5.